حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

خطوة 2.1.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{1}{x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{1}{x + h}$ في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5

أعِد كتابة $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

اطرح $h$ من $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{h}{x (x + h)}$ إلى بسط الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $h$ من $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

خطوة 5.2

انقُل الحد $\frac{1}{x}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

خطوة 5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

خطوة 5.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $x$ و $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 7.2

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

خطوة 7.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

خطوة 7.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 8