حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.3.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.4

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.5

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.6.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.6.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.6.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.6.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $h$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $x$ و $h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.3

انقُل $- 4 x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.4

انقُل $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.5

انقُل $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.6

انقُل $\frac{x^{3}}{3}$ .

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.7

انقُل $h x^{2}$ .

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.2.8

أعِد ترتيب $h^{2} x$ و $\frac{h^{3}}{3}$ .

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $\frac{x^{3}}{3}$ من $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $\frac{h^{3}}{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $\frac{h^{3}}{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.7

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.8

أضف $\frac{h^{3}}{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

خطوة 4.1.10

اطرح $32$ من $32$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

خطوة 4.1.11

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.11.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

خطوة 4.1.11.2

أضف $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.12

لكتابة $h^{2} x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.13

اجمع $h^{2} x$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.15.1

أخرِج العامل $h^{2}$ من $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.15.1.1

أخرِج العامل $h^{2}$ من $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.15.1.2

أخرِج العامل $h^{2}$ من $h^{2} x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.15.1.3

أخرِج العامل $h^{2}$ من $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.15.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.16

لكتابة $h x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.17

اجمع $h x^{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.19.1.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} (h + 3 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.1.2

أخرِج العامل $h$ من $h x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.1.3

أخرِج العامل $h$ من $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.3

اضرب $h$ في $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.19.5

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.20

لكتابة $- h^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.21

اجمع $- h^{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.23

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.23.1

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.23.1.1

أخرِج العامل $h$ من $- h^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.23.1.2

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.23.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.24

لكتابة $- 2 h x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.25

اجمع $- 2 h x$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.27.1

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.27.1.1

أخرِج العامل $h$ من $- 2 h x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.27.1.2

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.27.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

خطوة 4.1.28

لكتابة $- 4 h$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

خطوة 4.1.29

اجمع $- 4 h$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 4.1.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

خطوة 4.1.31

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.31.1

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.31.1.1

أخرِج العامل $h$ من $- 4 h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

خطوة 4.1.31.1.2

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

خطوة 4.1.31.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

اجمع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

خطوة 4.5

اضرب $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

خطوة 5

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 7

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 8

انقُل الحد $3 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $3 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 10

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 11

احسِب قيمة حد $6 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

خطوة 12

احسِب قيمة حد $12$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 13.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 14.1.2

اضرب $3 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.2.1

اضرب $0$ في $3$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 14.1.2.2

اضرب $0$ في $x$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 14.1.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

خطوة 14.1.4

اضرب $- 1$ في $12$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

خطوة 14.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

خطوة 14.2.2

أضف $0$ و $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

خطوة 14.2.3

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

خطوة 14.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

خطوة 14.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

خطوة 14.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

خطوة 14.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} - 2 x - 4$

خطوة 15