حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = K t^{2}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = t + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $t + h$ في العبارة.

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة ${(t + h)}^{2}$ بالصيغة $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

خطوة 2.1.2.2

وسّع $(t + h) (t + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

خطوة 2.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

خطوة 2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

خطوة 2.1.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2

أضف $t h$ و $h t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $t$ و $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

خطوة 2.1.2.3.2.2

أضف $h t$ و $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

خطوة 2.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

خطوة 2.1.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

خطوة 2.1.2.6

الإجابة النهائية هي $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب $2 K h t$ و $K h^{2}$ .

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $K t^{2}$ من $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

خطوة 4.1.2

أضف $K h^{2} + 2 K h t$ و $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $K h$ من $K h^{2} + 2 K h t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أخرِج العامل $K h$ من $K h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

خطوة 4.1.3.2

أخرِج العامل $K h$ من $2 K h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أخرِج العامل $K h$ من $K h \cdot h + K h (2 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $K (h + 2 t)$ على $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

خطوة 4.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

خطوة 4.2.3.2

أعِد ترتيب $K h$ و $2 K t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $2 K t$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

خطوة 5.3

انقُل الحد $K$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$2 K t + K \cdot 0$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $K$ في $0$ .

$2 K t + 0$

خطوة 7.2

أضف $2 K t$ و $0$ .

$2 K t$

خطوة 8