حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$15 x^{3}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = 15 {(x + h)}^{3}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = 15 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 15 x^{3} + 15 (3 x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $3$ في $15$ .

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

خطوة 2.1.2.3.2

اضرب $3$ في $15$ .

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 45 (x h^{2}) + 15 h^{3}$

خطوة 2.1.2.4

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

خطوة 2.1.2.5

الإجابة النهائية هي $15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$ .

$15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

خطوة 2.2.2

انقُل $x$ .

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3}$

خطوة 2.2.3

انقُل $15 x^{3}$ .

$45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3} + 15 x^{3}$

خطوة 2.2.4

انقُل $45 h x^{2}$ .

$45 h^{2} x + 15 h^{3} + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

خطوة 2.2.5

أعِد ترتيب $45 h^{2} x$ و $15 h^{3}$ .

$15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - (15 x^{3})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- 1$ في $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - 15 x^{3}}{h}$

خطوة 4.1.2

اطرح $15 x^{3}$ من $15 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 0}{h}$

خطوة 4.1.3

أضف $15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $15 h$ من $15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $15 h$ من $15 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.4.2

أخرِج العامل $15 h$ من $45 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 45 h x^{2}}{h}$

خطوة 4.1.4.3

أخرِج العامل $15 h$ من $45 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.1.4.4

أخرِج العامل $15 h$ من $15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.1.4.5

أخرِج العامل $15 h$ من $15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 15 (3 h x) + 15 (3 x^{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $3$ في $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 15 (3 x^{2})$

خطوة 4.3.2

اضرب $3$ في $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 45 x^{2}$

خطوة 4.4

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 x h + 45 x^{2}$

خطوة 4.5

انقُل $15 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x h + 45 x^{2} + 15 h^{2}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $45 x h$ و $45 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x^{2} + 45 x h + 15 h^{2}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $45 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

خطوة 7

انقُل الحد $45 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

خطوة 8

انقُل الحد $15$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 lim_{h \to 0} h^{2}$

خطوة 9

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 10

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 \cdot 0^{2}$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب $45 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1.1

اضرب $0$ في $45$ .

$45 x^{2} + 0 x + 15 \cdot 0^{2}$

خطوة 11.1.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0^{2}$

خطوة 11.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0$

خطوة 11.1.3

اضرب $15$ في $0$ .

$45 x^{2} + 0 + 0$

خطوة 11.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $45 x^{2} + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $45 x^{2}$ و $0$ .

$45 x^{2} + 0$

خطوة 11.2.2

أضف $45 x^{2}$ و $0$ .

$45 x^{2}$

خطوة 12