حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2} - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.5

اضرب $2$ في $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 (h x) + 9 h^{2} - 27 (x + h) + 20$

خطوة 2.1.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 x - 27 h + 20$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $- 27 x$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} - 27 h - 27 x + 20$

خطوة 2.2.2

انقُل $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

خطوة 2.2.3

أعِد ترتيب $18 h x$ و $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20$

$f (x) = 9 x^{2} - 27 x + 20$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2} - 27 x + 20)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - (9 x^{2}) - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} - (- 27 x) - 1 \cdot 20}{h}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 27$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 1 \cdot 20}{h}$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- 1$ في $20$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 27 h - 27 x + 20 - 9 x^{2} + 27 x - 20}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $9 x^{2}$ من $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 0 + 27 x - 20}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $9 h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h - 27 x + 20 + 27 x - 20}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- 27 x$ و $27 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0 + 20 - 20}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $9 h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 20 - 20}{h}$

خطوة 4.1.7

اطرح $20$ من $20$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h + 0}{h}$

خطوة 4.1.8

أضف $9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h^{2} + 18 h x - 27 h}{h}$

خطوة 4.1.9

أخرِج العامل $9 h$ من $9 h^{2} + 18 h x - 27 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.1

أخرِج العامل $9 h$ من $9 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 18 h x - 27 h}{h}$

خطوة 4.1.9.2

أخرِج العامل $9 h$ من $18 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) - 27 h}{h}$

خطوة 4.1.9.3

أخرِج العامل $9 h$ من $- 27 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

خطوة 4.1.9.4

أخرِج العامل $9 h$ من $9 h \cdot h + 9 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3}{h}$

خطوة 4.1.9.5

أخرِج العامل $9 h$ من $9 h (h + 2 x) + 9 h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 h (h + 2 x - 3)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $9 (h + 2 x - 3)$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 (h + 2 x - 3)$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 9 (2 x) + 9 \cdot - 3$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x + 9 \cdot - 3$

خطوة 4.3.2

اضرب $9$ في $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 h + 18 x - 27$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $9 h$ و $18 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 18 x + 9 h - 27$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $18 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$18 x + lim_{h \to 0} 9 h - lim_{h \to 0} 27$

خطوة 5.3

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 27$

خطوة 5.4

احسِب قيمة حد $27$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$18 x + 9 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 27$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$18 x + 9 \cdot 0 - 1 \cdot 27$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $9$ في $0$ .

$18 x + 0 - 1 \cdot 27$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 1$ في $27$ .

$18 x + 0 - 27$

خطوة 7.2

أضف $18 x$ و $0$ .

$18 x - 27$

خطوة 8