حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 ((x + h) (x + h)) + 6$

خطوة 2.1.2.1.3

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

خطوة 2.1.2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

خطوة 2.1.2.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

خطوة 2.1.2.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

خطوة 2.1.2.1.4.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

خطوة 2.1.2.1.4.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.4.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

خطوة 2.1.2.1.4.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

خطوة 2.1.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2} + 6$

خطوة 2.1.2.1.6

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

خطوة 2.2.2

انقُل $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

خطوة 2.2.3

انقُل $- 5 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2} + 6$

خطوة 2.2.4

انقُل $- 10 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

خطوة 2.2.5

انقُل $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

خطوة 2.2.6

انقُل $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب $3 h^{2} x$ و $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - (x^{3} - 5 x^{2} + 6)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} - (- 5 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 6}{h}$

خطوة 4.1.3

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 0 + 5 x^{2} - 6}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $h^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 5 x^{2} - 6}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- 5 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $h^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 6 - 6}{h}$

خطوة 4.1.7

اطرح $6$ من $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

خطوة 4.1.8

أضف $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

خطوة 4.1.9

أخرِج العامل $h$ من $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.9.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

خطوة 4.1.9.2

أخرِج العامل $h$ من $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

خطوة 4.1.9.3

أخرِج العامل $h$ من $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

خطوة 4.1.9.4

أخرِج العامل $h$ من $- 5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) - 10 h x}{h}$

خطوة 4.1.9.5

أخرِج العامل $h$ من $- 10 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

خطوة 4.1.9.6

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

خطوة 4.1.9.7

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

خطوة 4.1.9.8

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

خطوة 4.1.9.9

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 10 x - 5 h$

خطوة 4.2.2.3

انقُل $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 10 x - 5 h$

خطوة 4.2.2.4

أعِد ترتيب $3 x h$ و $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 10 x - 5 h$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $3 x^{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

خطوة 7

انقُل الحد $3 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

خطوة 8

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $10 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

خطوة 10

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

خطوة 11

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

خطوة 11.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اضرب $3 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اضرب $0$ في $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

خطوة 12.1.1.2

اضرب $0$ في $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

خطوة 12.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x - 5 \cdot 0$

خطوة 12.1.3

اضرب $- 5$ في $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$

خطوة 12.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 10 x + 0$

خطوة 12.2.2

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 0$

خطوة 12.2.3

أضف $3 x^{2} - 10 x$ و $0$ .

$3 x^{2} - 10 x$

خطوة 13