حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{5}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

خطوة 2.2.2

انقُل $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

خطوة 2.2.3

انقُل $x^{2}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

خطوة 2.2.4

انقُل $x$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

خطوة 2.2.5

انقُل $x^{5}$ .

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

خطوة 2.2.6

انقُل $5 h x^{4}$ .

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

خطوة 2.2.7

انقُل $10 h^{2} x^{3}$ .

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

خطوة 2.2.8

انقُل $10 h^{3} x^{2}$ .

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

خطوة 2.2.9

أعِد ترتيب $5 h^{4} x$ و $h^{5}$ .

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $x^{5}$ من $x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

خطوة 4.1.2

أضف $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $h$ من $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

أخرِج العامل $h$ من $5 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أخرِج العامل $h$ من $10 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

خطوة 4.1.3.4

أخرِج العامل $h$ من $10 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

خطوة 4.1.3.5

أخرِج العامل $h$ من $5 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.1.3.6

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.1.3.7

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.1.3.8

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.1.3.9

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

خطوة 4.2.2.3

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

خطوة 4.2.2.4

انقُل $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

خطوة 4.2.2.5

انقُل $5 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 4.2.2.6

انقُل $10 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 4.2.2.7

أعِد ترتيب $10 x^{3} h$ و $5 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $5 x^{4}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 7

انقُل الحد $10 x^{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 8

انقُل الحد $10 x^{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 9

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 10

انقُل الحد $5 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 11

انقُل الأُس $3$ من $h^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

خطوة 12

انقُل الأُس $4$ من $h^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

خطوة 13.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

خطوة 13.4

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اضرب $10 x^{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1.1

اضرب $0$ في $10$ .

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14.1.1.2

اضرب $0$ في $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14.1.3

اضرب $10 x^{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.3.1

اضرب $0$ في $10$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14.1.3.2

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

خطوة 14.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

خطوة 14.1.5

اضرب $5 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.5.1

اضرب $0$ في $5$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

خطوة 14.1.5.2

اضرب $0$ في $x$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

خطوة 14.1.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

خطوة 14.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

خطوة 14.2.2

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0$

خطوة 14.2.3

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4} + 0$

خطوة 14.2.4

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4}$

خطوة 15