حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 2.2.2

انقُل $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

خطوة 2.2.3

انقُل $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

خطوة 2.2.4

انقُل $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

خطوة 2.2.5

انقُل $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

خطوة 2.2.6

انقُل $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب $4 h^{3} x$ و $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $x^{4}$ من $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

خطوة 4.1.2

أضف $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $h$ من $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

أخرِج العامل $h$ من $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أخرِج العامل $h$ من $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

خطوة 4.1.3.4

أخرِج العامل $h$ من $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

خطوة 4.1.3.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

خطوة 4.1.3.6

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

خطوة 4.1.3.7

أخرِج العامل $h$ من $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

خطوة 4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

خطوة 4.2.2.3

انقُل $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

خطوة 4.2.2.4

انقُل $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

خطوة 4.2.2.5

أعِد ترتيب $6 x^{2} h$ و $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $4 x^{3}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

خطوة 7

انقُل الحد $6 x^{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

خطوة 8

انقُل الحد $4 x$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

خطوة 9

انقُل الأُس $2$ من $h^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

خطوة 10

انقُل الأُس $3$ من $h^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

خطوة 11

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اضرب $6 x^{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اضرب $0$ في $6$ .

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

خطوة 12.1.1.2

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

خطوة 12.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

خطوة 12.1.3

اضرب $4 x \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اضرب $0$ في $4$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

خطوة 12.1.3.2

اضرب $0$ في $x$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

خطوة 12.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

خطوة 12.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0$

خطوة 12.2.2

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3} + 0$

خطوة 12.2.3

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3}$

خطوة 13