حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ ومجموعهما $b = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.1.2

أعِد ترتيب $27$ و $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.1.3

أعِد كتابة $- 6$ في صورة $3$ زائد $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- x - h + 3$ و $x + h - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.4

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.6

أعِد كتابة $- (x + h - 3)$ بالصيغة $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.7

ألغِ العامل المشترك.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

خطوة 2.1.2.2.1.8

اقسِم $- 1 (x + h + 9)$ على $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

خطوة 2.1.2.2.2

أعِد كتابة $- 1 (x + h + 9)$ بالصيغة $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

خطوة 2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

خطوة 2.1.2.2.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب $- x$ و $- h$ .

$- h - x - 9$

خطوة 2.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

خطوة 4.1.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

خطوة 4.1.4

أضف $- x$ و $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

خطوة 4.1.5

أضف $- h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

خطوة 4.1.6

أضف $- 9$ و $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

خطوة 4.1.7

أضف $- h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

خطوة 4.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $- 1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 6