حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

خطوة 4.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{1}{x + h}$ و $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

لكتابة $\frac{1}{x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.2

لكتابة $\frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

اضرب $\frac{1}{x + h}$ في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.5

أضف $x$ و $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.6

لكتابة $\frac{1}{x + h}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

خطوة 4.1.5.7

لكتابة $- \frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

خطوة 4.1.5.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.8.1

اضرب $\frac{1}{x + h}$ في $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

خطوة 4.1.5.8.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

خطوة 4.1.5.8.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

خطوة 4.1.5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10

أعِد كتابة $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10.2

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10.3

اطرح $h$ من $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

خطوة 4.1.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج السالب.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

خطوة 4.1.7.2

اضرب $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ في $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

خطوة 4.1.7.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.7.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.7.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.7.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

خطوة 4.1.7.7

ارفع $x + h$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

خطوة 4.1.7.8

ارفع $x + h$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

خطوة 4.1.7.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

خطوة 4.1.7.10

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $h$ من $- (2 x + h) h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 5

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{1}{x^{2}}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

خطوة 10

انقُل الأُس $2$ من ${(x + h)}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

خطوة 11

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

خطوة 12

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

خطوة 14.2

أضف $x$ و $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

خطوة 14.3.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

خطوة 14.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

خطوة 14.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

خطوة 14.4

اضرب $\frac{- 1}{x}$ في $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

خطوة 14.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

خطوة 14.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

خطوة 14.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

خطوة 14.6.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

خطوة 14.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 15