حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

اضرب $1 + 3 x^{2}$ في $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.9

اضرب $2$ في $- 3$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.8

اطرح $6 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.9

اجمع $6$ و $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.10.2.1

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.10.2.2

اضرب $- 3$ في $6$ .

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.1.10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 18 x^{2} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.3

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.5

اضرب $2$ في $- 18$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.6

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.7

أضف $- 36 x$ و $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.7.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.7.2

انقُل $6$ إلى يسار $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.7.3

اضرب $6$ في $- 2$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3

وسّع $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.5

اضرب $3 x^{2}$ في $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.1.6

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.4.2

أضف $3 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.6.1

اضرب $9$ في $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.6.2

اضرب $6$ في $- 36$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.6.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 18$ في $- 12$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 12$ في $6$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.10.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11

وسّع $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $216$ في $3$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $3$ في $- 72$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.2

اطرح $216 x^{3}$ من $216 x^{3}$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.1.12.3

أضف $648 x^{5}$ و $0$ .

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.2

أضف $- 324 x^{5}$ و $648 x^{5}$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3.3

اطرح $72 x$ من $- 36 x$ .

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1

أخرِج العامل $108 x$ من $324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $108 x$ من $324 x^{5}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $108 x$ من $- 216 x^{3}$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $108 x$ من $- 108 x$ .

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $108 x$ من $108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $108 x$ من $108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ .

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.4.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 u$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $1$ زائد $- 3$

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 u + 1$ .

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.4.7

حلّل إلى عوامل.

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $3 x^{2} + 1$ و ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.5.1

أخرِج العامل $3 x^{2} + 1$ من $108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.5.2.1

أخرِج العامل $3 x^{2} + 1$ من ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 + 3 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = - 1$

خطوة 2.2.2

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = - 1$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

خطوة 2.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

خطوة 2.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3}$ بالصيغة $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

خطوة 2.2.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

خطوة 2.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

خطوة 2.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.2.4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.2.4.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.2.4.6

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 2.2.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 2.2.4.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 2.2.4.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 2.2.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.2.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 2.2.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.2.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.2.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 2.2.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.2.4.8

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $108$ في $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

خطوة 4.2.2.3

أضف $48$ و $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

خطوة 4.2.2.4

ارفع $49$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف $- 4$ و $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $- 432$ في $- 3$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

خطوة 4.2.3.3

اطرح $1$ من $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $1296$ في $- 5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

خطوة 4.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{6480}{117649}$ .

$- \frac{6480}{117649}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 1)$ لأن $f'' (- 4)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5$ في العبارة.

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $108$ في $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 54$ في $- 0.5 + 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 27$ في $- 0.5 - 1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $3$ في $0.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

خطوة 5.2.2.4

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

خطوة 5.2.3

اقسِم $40.5$ على $5.359375$ .

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $7.55685131$ .

$7.55685131$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 1, 0)$ لأن $f'' (- 0.5)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.5$ في العبارة.

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $108$ في $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $54$ في $0.5 + 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $81$ في $0.5 - 1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $0.5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $3$ في $0.25$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 40.5$ على $5.359375$ .

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 7.55685131$ .

$- 7.55685131$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, 1)$ لأن $f'' (0.5)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $108$ في $4$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

أضف $48$ و $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $49$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

خطوة 7.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $432$ في $5$ .

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

خطوة 7.2.3.3

اطرح $1$ من $4$ .

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

خطوة 7.2.4

اضرب $2160$ في $3$ .

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{6480}{117649}$ .

$\frac{6480}{117649}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 1, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9