حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ و $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

وسّع $(x - 2) (2 x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

اطرح $4 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.3

أضف $- 6 x$ و $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.4

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

حلّل $x^{2} - 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 1.1.1.3.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.4.2

اضرب $x - 3$ في $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.8.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + x - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 3 - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.8.4

اطرح $1$ من $- 3$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6.2

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6.2.2

أخرِج العامل $x - 2$ من $- 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 1.1.2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.11.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.1

وسّع $(x - 2) (2 x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.2.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x + 6) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.4

وسّع $(- 2 x + 6) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x (x - 1) + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.1.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.1.5.2

أضف $2 x$ و $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.12.2.2.1

اطرح $2 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.2.2

أضف $- 8 x + 8$ و $0$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.2.3

أضف $- 8 x$ و $8 x$ .

$\frac{0 + 8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.2.4

أضف $0$ و $8$ .

$\frac{8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.2.12.2.3

اطرح $6$ من $8$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 2}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $2$ من $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

خطوة 4.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

خطوة 4.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

خطوة 4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 2)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اطرح $2$ من $4$ .

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(2, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7