حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3.4.2

اضرب $5$ في $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

خطوة 1.1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

خطوة 1.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{4}$ من $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1.1

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{4}$ من $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

خطوة 1.1.1.4.1.2

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{4}$ من $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

خطوة 1.1.1.4.1.3

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{4}$ من $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.1.4.2

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

خطوة 1.1.2.1.1.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

خطوة 1.1.2.1.2

أضف $5 x$ و $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ و $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.4

اضرب $7$ في $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.3.6.2

انقُل $7$ إلى يسار $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.2.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

خطوة 1.1.2.6.6

اضرب ${(x + 3)}^{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2

بسّط $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

وسّع $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.3.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.3.1.1

انقُل $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.1.3.3

اضرب $7$ في $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.1.3.4

اضرب $4$ في $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.2.2

أضف $7 x {(x + 3)}^{4}$ و $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.3.1.2

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.3.1.3

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

خطوة 1.2.3.1.4

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.1.5

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.1.6

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.1.7

أخرِج العامل $2 {(x + 3)}^{3}$ من $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.2

أخرِج العامل $7 x$ من $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

أخرِج العامل $7 x$ من $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.2.2

أخرِج العامل $7 x$ من $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.3

أضف $x$ و $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $3$ في $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.6

أخرِج العامل $3$ من $12 x + 3 (x + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.6.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.7

أضف $4 x$ و $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.8

أخرِج العامل $3$ من $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.8.1

أخرِج العامل $3$ من $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.8.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.9

طبّق خاصية التوزيع.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.10

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.10.1

انقُل $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.10.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.11

اضرب $7$ في $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.12

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.12.1

أضف $7 x$ و $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.12.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.3.13

اضرب $3$ في $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x + 3)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة ${(x + 3)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 3)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 1.2.5.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $7 x^{2} + 12 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $7 x^{2} + 12 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.6.2.2

عوّض بقيم $a = 7$ و $b = 12$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 28$ في $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.3

اطرح $84$ من $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $60$ بالصيغة $2^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.3.2

اضرب $2$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

خطوة 1.2.6.2.3.3

بسّط $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.2.2

اضرب $- 28$ في $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.3

اطرح $84$ من $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.4

أعِد كتابة $60$ بالصيغة $2^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.4.2

اضرب $2$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

خطوة 1.2.6.2.4.3

بسّط $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4.5

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

خطوة 1.2.6.2.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.2.2

اضرب $- 28$ في $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.3

اطرح $84$ من $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.4

أعِد كتابة $60$ بالصيغة $2^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

خطوة 1.2.6.2.5.2

اضرب $2$ في $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

خطوة 1.2.6.2.5.3

بسّط $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5.5

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

خطوة 1.2.6.2.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.6.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $7$ في $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.2

أضف $- 6$ و $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 42$ في $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $7$ في $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.6

أضف $- 42$ و $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

أضف $- 6$ و $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7.3

اضرب $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.3.1

اضرب $4$ في $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7.3.2

اضرب $- 6$ في $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7.4

أضف $- 6$ و $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

خطوة 4.2.1.7.5

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

خطوة 4.2.1.8

أضف $648$ و $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

خطوة 4.2.1.9

اضرب $- 36$ في $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

خطوة 4.2.2

اطرح $26244$ من $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 29646$ .

$- 29646$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 3)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $7$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 14$ في $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $7$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.6

أضف $- 14$ و $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.7.1

أضف $- 2$ و $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.7.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.7.3

اضرب $- 2 (4 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.7.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.7.3.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

خطوة 5.2.1.7.4

أضف $- 2$ و $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

خطوة 5.2.1.7.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

خطوة 5.2.1.8

أضف $- 8$ و $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

خطوة 5.2.1.9

اضرب $- 8$ في $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

خطوة 5.2.2

أضف $- 14$ و $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $42$ .

$42$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 7$ في $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.6

أضف $- 7$ و $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

أضف $- 1$ و $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.7.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.7.3

اضرب $- 1 (4 \cdot 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.3.1

اضرب $4$ في $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.7.3.2

اضرب $- 1$ في $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

خطوة 6.2.1.7.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

خطوة 6.2.1.7.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

خطوة 6.2.1.8

أضف $- 32$ و $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

خطوة 6.2.1.9

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

خطوة 6.2.2

أضف $- 112$ و $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 96$ .

$- 96$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ لأن $f'' (- 1)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $7$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.2

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $0$ في $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $7$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.6

أضف $0$ و $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.7.1

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.7.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.7.3

اضرب $0 (4 \cdot 27)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.7.3.1

اضرب $4$ في $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.7.3.2

اضرب $0$ في $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

خطوة 7.2.1.7.4

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

خطوة 7.2.1.7.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

خطوة 7.2.1.8

أضف $0$ و $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

خطوة 7.2.1.9

اضرب $6$ في $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $486$ .

$f'' (0) = 486$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $486$ .

$486$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9