حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + \cos (2 x)$

خطوة 1

اكتب $y = x + \cos (2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 2.2.2.7

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

خطوة 2.2.3

اطرح $4 \cos (2 x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (2 x) = 0$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (2 x) = 0$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

خطوة 3.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (0)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 3.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.7.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.7.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.7.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.7.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.8

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.8.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.8.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.9

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.10

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{π}{4}$ في $f (x) = x + \cos (2 x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

خطوة 4.1.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

خطوة 4.1.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 4.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ في $f (x) = x + \cos (2 x)$ هي $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{4})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.68539816$ في العبارة.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.68539816$ يساوي $- 0.79467732$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{π}{4})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{4})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{4}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.88539816$ في العبارة.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

خطوة 7.3

في $0.88539816$ ، المشتق الثاني هو $0.79467732$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{π}{4}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

خطوة 9