حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

خطوة 1

اكتب $y = x^{5} + x^{3} - 2$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} + x^{3} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $5 x^{4} + 3 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 x$ من $20 x^{3} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 x$ من $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2 x$ من $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $10 x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $10 x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $10 x^{2} + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$10 x^{2} = - 3$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $10 x^{2} = - 3$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $10 x^{2} = - 3$ على $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

خطوة 3.5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

خطوة 3.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

خطوة 3.5.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

خطوة 3.5.2.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{10}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

خطوة 3.5.2.4.4

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

خطوة 3.5.2.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 3.5.2.4.5.2

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

خطوة 3.5.2.4.5.3

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

خطوة 3.5.2.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.2.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

خطوة 3.5.2.4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

خطوة 3.5.2.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

خطوة 3.5.2.4.6.2

اضرب $3$ في $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

خطوة 3.5.2.4.7

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

خطوة 3.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

خطوة 3.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

خطوة 3.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

خطوة 4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 2$

خطوة 4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ هي $(0, - 2)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, - 2)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $20$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $6$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

خطوة 6.2.2

اطرح $0.6$ من $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.62$ .

$- 0.62$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.62$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $20$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $6$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

خطوة 7.2.2

أضف $0.02$ و $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.62$ .

$0.62$

خطوة 7.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.62$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

خطوة 9