حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 2.1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.1.4.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.3

حلّل $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

خطوة 3.3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

خطوة 3.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

خطوة 3.3.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 3.3.2.1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

خطوة 3.3.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 3.5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 3.5.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 3.5.2.6

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 3.5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 3.5.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 3.5.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.5.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $\sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

خطوة 3.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 1$

خطوة 3.6.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 3.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 3.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 3.6.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.6.2.6

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.6.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.6.2.7

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.7.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 3.6.2.7.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.7.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.7.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.6.2.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.7.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.6.2.7.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 3.6.2.7.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.6.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{π}{6}$ في $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

خطوة 4.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

خطوة 4.1.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

خطوة 4.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

خطوة 4.1.2.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

خطوة 4.1.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

خطوة 4.1.2.2.3

اطرح $3$ من $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{6}$ في $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ هي $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{6})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.42359877$ في العبارة.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

خطوة 6.3

في $0.42359877$ ، المشتق الثاني هو $0.50208433$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{π}{6})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{6}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.62359877$ في العبارة.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.62359877$ يساوي $- 0.53195951$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{π}{6}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{π}{6}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

خطوة 9