حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - \sin (x)$

خطوة 1

اكتب $y = - \sin (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = - \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = - \cos (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

خطوة 2.2.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sin (x)$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.5

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.6

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.8

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في $f (x) = - \sin (x)$ هي $(,)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(,)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty,)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.09983341$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty,)$

تناقص خلال $(- \infty,)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

خطوة 7.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.09983341$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(, \infty)$ .

تزايد خلال $(, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(,)$ .

$(,)$

خطوة 9