حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 1

اكتب $y = \ln (x^{2} + 1)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

خطوة 2.1.2.4.3

اجمع $\frac{2}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 2.2.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = - 2$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 2$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 3.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 3.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 3.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 3.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

خطوة 4.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ هي $(1, \ln (2))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, \ln (2))$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

خطوة 4.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ هي $(- 1, \ln (2))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, \ln (2))$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $- 2.42$ و $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1.21$ و $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $2.21$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 0.42$ على $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.08599332$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف $0$ و $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

خطوة 7.2.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$f'' (0) = 2$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 7.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 1)$ .

تزايد خلال $(- 1, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

أضف $- 2.42$ و $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $1.21$ و $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $2.21$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 0.42$ على $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $1.1$ يساوي $- 0.08599332$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \infty)$

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

خطوة 10