حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

خطوة 1

اكتب $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} + 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{4} + 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $4$ في $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $60 x^{2} (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $3$ من $5$ .

$f (- 1) = 2$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ هي $(- 1, 2)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, 2)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 1, 2)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $60$ في $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $60$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

خطوة 6.2.2

أضف $- 79.86$ و $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 7.26$ .

$- 7.26$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 7.26$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6

اجمع $15$ و $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $15$ في $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

خطوة 7.2.1.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 7.2.1.11

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

خطوة 7.2.1.12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

خطوة 7.2.1.13

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

خطوة 7.2.1.14

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.14.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

خطوة 7.2.1.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

خطوة 7.2.1.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

خطوة 7.2.2

لكتابة $15$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 7.2.3

اجمع $15$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $15$ في $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

خطوة 7.2.5.2

أضف $- 15$ و $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

خطوة 7.3

في $- \frac{1}{2}$ ، المشتق الثاني هو $7.5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 0)$ .

تزايد خلال $(- 1, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $60$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $60$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

خطوة 8.2.2

أضف $0.06$ و $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.66$ .

$0.66$

خطوة 8.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.66$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

خطوة 10