حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

خطوة 1

اكتب $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ في صورة دالة.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

اضرب $\frac{4}{x}$ في $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.2

اجمع $\frac{4}{x}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.3.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.5.3.2.5

اقسِم $4 x$ على $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.7.2

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.7.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.9

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 2.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

خطوة 2.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

خطوة 2.1.11.2

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

خطوة 2.1.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x \ln (\frac{x}{4})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.7

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.8

اضرب $\frac{4}{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.9

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.10

اضرب $\frac{4}{x}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.11

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.13

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.14

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2.15

اضرب $\ln (\frac{x}{4})$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

خطوة 2.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $10$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $10$ و $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $15$ من كلا المتعادلين.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ على $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $\ln (\frac{x}{4})$ على $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

خطوة 3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

خطوة 3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

خطوة 3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

بسّط $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.6.3.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ في $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ في العبارة.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.3

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اجمع $5$ و $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $5$ في $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

خطوة 4.1.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 4.1.2.6

اجمع.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

خطوة 4.1.2.7

اختزِل العبارة $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

خطوة 4.1.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 4.1.2.8

انقُل $e^{\frac{3}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 4.1.2.9

وسّع $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ بنقل $- \frac{3}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 4.1.2.10

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

خطوة 4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

خطوة 4.1.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.12.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 4.1.2.12.2

أخرِج العامل $2$ من $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 4.1.2.12.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

خطوة 4.1.2.12.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

خطوة 4.1.2.13

اجمع $\frac{40}{e^{3}}$ و $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

خطوة 4.1.2.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.14.1

اضرب $40$ في $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

خطوة 4.1.2.14.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

خطوة 4.1.2.15

الإجابة النهائية هي $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ في $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ هي $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.79252064$ في العبارة.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اقسِم $0.79252064$ على $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

خطوة 6.2.1.2

بسّط $10 \ln (0.19813016)$ بنقل $10$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $0.19813016$ إلى القوة $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.79252064$ يساوي $- 1.18831089$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.99252064$ في العبارة.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اقسِم $0.99252064$ على $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

خطوة 7.2.1.2

بسّط $10 \ln (0.24813016)$ بنقل $10$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $0.24813016$ إلى القوة $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

خطوة 7.3

في $0.99252064$ ، المشتق الثاني هو $1.06198168$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

خطوة 9