حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- e^{x} (x - 5)$

خطوة 1

اكتب $- e^{x} (x - 5)$ في صورة دالة.

$f (x) = - e^{x} (x - 5)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x} (x - 5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - 5$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.3.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.3.4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$- (e^{x} + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 5) e^{x})$

خطوة 2.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (e^{x} + x e^{x} - 5 e^{x})$

خطوة 2.1.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 5 e^{x})$

خطوة 2.1.1.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.3.1

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 5 e^{x}$

خطوة 2.1.1.5.3.2

أضف $- e^{x}$ و $5 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x}$

خطوة 2.1.1.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{x} x + 4 e^{x}$

خطوة 2.1.1.5.5

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x e^{x} + 4 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

خطوة 2.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (x e^{x}) - e^{x} + 4 e^{x}$

خطوة 2.1.2.4.2

أضف $- e^{x}$ و $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

خطوة 2.1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

خطوة 2.1.2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

خطوة 2.2.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $- x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $- x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 3 = 0$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 3$

خطوة 2.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.2.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x = 3$

خطوة 2.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (- x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 3$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} + 3 e^{0}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 3 e^{0}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 e^{0}$

خطوة 5.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3$

خطوة 5.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f'' (0) = 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 3)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = - 6 \cdot e^{6} + 3 e^{6}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $- 6 e^{6}$ و $3 e^{6}$ .

$f'' (6) = - 3 e^{6}$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $- 3 e^{6}$ .

$- 3 e^{6}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(3, \infty)$ لأن $f'' (6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8