حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\arctan (x)$

خطوة 1

اكتب $\arctan (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \arctan (x)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 1}$ بالصيغة ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.1.2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 2.1.2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 2.1.2.3.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

خطوة 2.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 2.1.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 2.1.2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 2.1.2.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 2.2.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8