حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

خطوة 1

اكتب $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.4.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.5.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.6.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

خطوة 2.1.1.6.2

أضف $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.4.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + \frac{d}{d x} [12]$

خطوة 2.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + 0$

خطوة 2.1.2.5.2

أضف $36 x^{2} - 24 x - 12$ و $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 12$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 12 = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $- 24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 12 = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $- 12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1) = 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $1$ زائد $- 3$

$12 (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$12 (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$12 ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$12 (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + 1$ .

$12 ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 1 = 0$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 1$

خطوة 2.2.4.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{3}$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 12$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 12$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $9$ .

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 12$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 24$ في $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 12$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $324$ و $72$ .

$f'' (- 3) = 396 - 12$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $12$ من $396$ .

$f'' (- 3) = 384$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $384$ .

$384$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - \frac{1}{3})$ لأن $f'' (- 3)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \frac{1}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{1}{3}, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 12$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 12$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 24$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 12$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $12$ من $0$ .

$f'' (0) = - 12$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \frac{1}{3}, 1)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{1}{3}, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 12$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 12$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $16$ .

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 12$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 24$ في $4$ .

$f'' (4) = 576 - 96 - 12$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $96$ من $576$ .

$f'' (4) = 480 - 12$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $12$ من $480$ .

$f'' (4) = 468$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $468$ .

$468$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \frac{1}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{1}{3}, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9