حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{2} + 12) (4 - x^{2})$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 12$ و $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

خطوة 1.1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.1.1.2.9

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + 0)$

خطوة 1.1.1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.1.1.2.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot ((4 - x^{2}) x)$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (4 - x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x$

خطوة 1.1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.4.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.4.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.3

اضرب $- 2$ في $12$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.4

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.1.3.4.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{2} x$

خطوة 1.1.1.3.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 (x \cdot x^{2})$

خطوة 1.1.1.3.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{1 + 2}$

خطوة 1.1.1.3.4.8

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{3}$

خطوة 1.1.1.3.4.9

أضف $- 24 x$ و $8 x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 16 x - 2 x^{3}$

خطوة 1.1.1.3.4.10

اطرح $2 x^{3}$ من $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 x$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{3} - 16 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب $- 16$ في $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 12 x^{2} - 16$ .

$- 12 x^{2} - 16$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 12 x^{2} - 16 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 12 x^{2} - 16 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$- 12 x^{2} = 16$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $- 12 x^{2} = 16$ على $- 12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 12 x^{2} = 16$ على $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{- 12}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $- 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (4)}{- 12}$

خطوة 1.2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

خطوة 1.2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

خطوة 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

خطوة 1.2.5

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة $- \frac{4}{3}$ بالصيغة $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

خطوة 1.2.5.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

خطوة 1.2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

خطوة 1.2.5.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

خطوة 1.2.5.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.5.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

خطوة 1.2.5.6

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 1.2.5.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 1.2.5.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 1.2.5.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 1.2.5.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.5.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 1.2.5.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.2.5.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.2.5.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.2.5.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 1.2.5.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.5.8

اجمع $i$ و $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

خطوة 1.2.5.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 1.2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} - 16$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 - 16$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 12$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 16$

خطوة 4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$f'' (0) = - 16$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

الرسم البياني مقعر لأسفل

خطوة 5