حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{- 2}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

خطوة 1.1.2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

خطوة 1.1.2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

خطوة 1.1.2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

خطوة 1.1.2.3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{{(x - 1)}^{3}})$

خطوة 1.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $4 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x + 1}{x - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 1 = 0$

خطوة 2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 1}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 1}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{4}{{((0) - 1)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $1$ من $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = \frac{4}{- 1}$

خطوة 4.2.2

اقسِم $4$ على $- 1$ .

$f'' (0) = - 4$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 1)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = \frac{4}{{((4) - 1)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اطرح $1$ من $4$ .

$f'' (4) = \frac{4}{3^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4) = \frac{4}{27}$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(1, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(1, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7