حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 1.1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.1.1.3.7

اضرب $2$ في $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - 20 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $20$ في $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 1.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.1.2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.7

اضرب $- 2$ في $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $20$ من كلا المتعادلين.

$40 \sin (2 x) = - 20$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $40 \sin (2 x) = - 20$ على $40$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $40 \sin (2 x) = - 20$ على $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $40$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x)$ على $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $40$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.1

أخرِج العامل $20$ من $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

خطوة 1.2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $20$ من $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

خطوة 1.2.6

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.6.3.2

اضرب $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

خطوة 1.2.6.3.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

خطوة 1.2.7

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 1.2.8.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 1.2.8.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.8.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

خطوة 1.2.8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.8.3.3.2

اضرب $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.3.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

خطوة 1.2.8.3.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

خطوة 1.2.9

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.9.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 1.2.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 1.2.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 1.2.9.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 1.2.10

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{12}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{12} + π$

خطوة 1.2.10.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

خطوة 1.2.10.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.3.1

اجمع $π$ و $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

خطوة 1.2.10.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

خطوة 1.2.10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.4.1

انقُل $12$ إلى يسار $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

خطوة 1.2.10.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

خطوة 1.2.10.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{12}$

خطوة 1.2.11

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $40$ في $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

خطوة 4.2.2

أضف $20$ و $0$ .

$f'' (0) = 20$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $20$ .

$20$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5