حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(6 - x)}^{2}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة ${(6 - x)}^{2}$ بالصيغة $(6 - x) (6 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((6 - x) (6 - x)))$

خطوة 1.1.1.2

وسّع $(6 - x) (6 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 (6 - x) - x (6 - x)))$

خطوة 1.1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)))$

خطوة 1.1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

خطوة 1.1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1.1

اضرب $6$ في $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

خطوة 1.1.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)))$

خطوة 1.1.1.3.1.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)))$

خطوة 1.1.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

خطوة 1.1.1.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

خطوة 1.1.1.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

خطوة 1.1.1.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}))$

خطوة 1.1.1.3.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}))$

خطوة 1.1.1.3.2

اطرح $6 x$ من $- 6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 12 x + x^{2}))$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 36 - 12 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (36 - 12 x + x^{2}) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $36 - 12 x + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (36) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.2

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x (0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.4

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (- 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.6

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \cdot 1$

خطوة 1.1.1.5.9

اضرب $36 - 12 x + x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x \cdot - 12 + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.2.1

انقُل $- 12$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = - 12 \cdot x + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{1 + 1} + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.6

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$f' (x) = - 24 x + 2 x^{2} + 36 + x^{2}$

خطوة 1.1.1.6.2.7

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 x + 3 x^{2} + 36$

خطوة 1.1.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 24 x + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

خطوة 1.1.2.4.2

أضف $6 x - 24$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 24 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $24$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 24$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $6 x = 24$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 24$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $24$ على $6$ .

$x = 4$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $6$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

خطوة 4.2.2

اطرح $24$ من $0$ .

$f'' (0) = - 24$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 24$ .

$- 24$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 4)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $6$ في $6$ .

$f'' (6) = 36 - 24$

خطوة 5.2.2

اطرح $24$ من $36$ .

$f'' (6) = 12$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(4, \infty)$ لأن $f'' (6)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7