حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(x + 6)}^{2}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد كتابة ${(x + 6)}^{2}$ بالصيغة $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x + 6) (x + 6)))$

خطوة 1.1.1.2

وسّع $(x + 6) (x + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x + 6) + 6 (x + 6)))$

خطوة 1.1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)))$

خطوة 1.1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

خطوة 1.1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

خطوة 1.1.1.3.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6))$

خطوة 1.1.1.3.1.3

اضرب $6$ في $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 6 x + 6 x + 36))$

خطوة 1.1.1.3.2

أضف $6 x$ و $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 12 x + 36))$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 12 x + 36$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 12 x + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.3

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.5

اضرب $12$ في $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.6

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 + 0) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.7

أضف $2 x + 12$ و $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1$

خطوة 1.1.1.5.9

اضرب $x^{2} + 12 x + 36$ في $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x (2 x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.5

انقُل $12$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 12 \cdot x + x^{2} + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.6

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 12 x + 36$

خطوة 1.1.1.6.2.7

أضف $12 x$ و $12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 24 x + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب $24$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + 0$

خطوة 1.1.2.4.2

أضف $6 x + 24$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x + 24$ .

$6 x + 24$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x + 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x + 24 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $24$ من كلا المتعادلين.

$6 x = - 24$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $6 x = - 24$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = - 24$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 24}{6}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 24}{6}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 24}{6}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $- 24$ على $6$ .

$x = - 4$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = 6 (- 6) + 24$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $6$ في $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 24$

خطوة 4.2.2

أضف $- 36$ و $24$ .

$f'' (- 6) = - 12$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 4)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 4, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 6 (0) + 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $6$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

خطوة 5.2.2

أضف $0$ و $24$ .

$f'' (0) = 24$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 4, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 4)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 4, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7