حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x + 6}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 6}$ في صورة ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.8.3

انقُل ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.11

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.12.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 1.1.1.14

اضرب ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.1.15

لكتابة ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.16

اجمع ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.18

اضرب ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.18.1

انقُل ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.18.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.19

بسّط ${(x + 6)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.20

انقُل $2$ إلى يسار $x + 6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 6)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 6}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.21.2.1

اضرب $2$ في $6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21.2.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.21.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21.3.2

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.21.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 4$ و $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.5.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.5.4.2

اضرب ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.6

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.11.3

انقُل ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.14

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.15.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.15.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$

خطوة 1.1.2.15.3

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 6)}$

خطوة 1.1.2.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

خطوة 1.1.2.16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

خطوة 1.1.2.16.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.2

لنفترض أن $u_{2} = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . استبدِل $u_{2}$ بجميع حالات حدوث ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.2.2

اضرب $u_{2}$ في $u_{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.2.2.1

انقُل $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.2.2.2

اضرب $u_{2}$ في $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.2

بسّط.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 6 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.1.4

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 12 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.2

اطرح $x$ من $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12 - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.4.4.3

اطرح $4$ من $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.5.1

اجمع $3$ و $\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 6}$

خطوة 1.1.2.16.5.2

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$

خطوة 1.1.2.16.5.3

أعِد كتابة $\frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 12}$

خطوة 1.1.2.16.5.4

اضرب $\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{2 x + 12}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 12)}$

خطوة 1.1.2.16.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 12)}$

خطوة 1.1.2.16.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 6)}$

خطوة 1.1.2.16.6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 \cdot 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 6))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 6))}$

خطوة 1.1.2.16.6.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.16.6.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (x + 6)}$

خطوة 1.1.2.16.6.2.2

ارفع $x + 6$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 ((x + 6) {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.1.2.16.6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.16.6.2.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.16.6.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.16.6.2.6

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 (x + 8) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $3 (x + 8) = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $3 (x + 8) = 0$ على $3$ .

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.3.1.2.1.2

اقسِم $x + 8$ على $1$ .

$x + 8 = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 1.2.4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = x \sqrt{x + 6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 6}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x + 6 \geq 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 6$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 6, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - 6}$

ترميز الفترة:

$[- 6, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq - 6}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$[- 6, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $[- 6, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 8)}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $3 ((0) + 8)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 ({((0) + 6)}^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 2)}{{((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $2$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{{(0 + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.4

أضف $0$ و $6$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{6^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.5

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (0) = \frac{6}{6^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.6

انقُل $6^{1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{- 1}}$

خطوة 4.2.7

اضرب $6^{\frac{3}{2}}$ في $6^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1}}$

خطوة 4.2.7.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.7.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 4.2.7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 4.2.7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 2}{2}}}$

خطوة 4.2.7.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $[- 6, \infty)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $[- 6, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5