حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = x^{3} - x$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(0, 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(0, 4)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(0, 4)$ لأن المشتق متصل على $(0, 4)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[0, 4]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, 4)$ .

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, 4)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[0, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - (0)$

خطوة 7.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[0, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

خطوة 8.2.2

اطرح $4$ من $64$ .

$f (4) = 60$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $60$ .

$60$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

خطوة 9.1.1.2

أضف $60$ و $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

خطوة 9.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

خطوة 9.1.2.2

أضف $4$ و $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

خطوة 9.1.3

اقسِم $60$ على $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 15 + 1$

خطوة 9.2.2

أضف $15$ و $1$ .

$3 x^{2} = 16$

خطوة 9.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 16$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 16$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

خطوة 9.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

خطوة 9.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

خطوة 9.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{16}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

خطوة 9.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 9.5.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

خطوة 9.5.3

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 9.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.4.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 9.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 9.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 9.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 9.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 9.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 4$ .

يوجد خط مماس عند $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 4$

خطوة 11

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 4$ .

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 4$

خطوة 12