حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[1, 8]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

خطوة 2.1.2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 8]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

خطوة 3.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

خطوة 3.1.5.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

خطوة 3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

خطوة 3.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.1.7.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(1, 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $(1, 8)$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

خطوة 4.1.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

خطوة 4.1.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

خطوة 4.1.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1

بسّط ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 x^{1} = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.2.1.4

بسّط.

$27 x = 0^{3}$

خطوة 4.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x = 0$

خطوة 4.1.3.3

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 x = 0$ على $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.1.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.1.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

خطوة 4.1.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

$x = 0$

خطوة 4.1.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(1, 8)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ لأن المشتق متصل على $(1, 8)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[1, 8]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ .

$f (x)$ متصلة على $[1, 8]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[1, 8]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 1$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[1, 8]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 8.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 8.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (8) = 2^{2}$

خطوة 8.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (8) = 4$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

خطوة 9.1.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

خطوة 9.1.4

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

خطوة 9.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

خطوة 9.2.2

بما أن $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $3, 7$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $x^{\frac{1}{3}}$ .

خطوة 9.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 9.2.4

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 9.2.5

بما أن $7$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $7$ .

$7$ هي عدد أولي

خطوة 9.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3, 7$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$3 \cdot 7$

خطوة 9.2.7

اضرب $3$ في $7$ .

$21$

خطوة 9.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{\frac{1}{3}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 9.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $21$ في الجزء المتغير.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 9.3

اضرب كل حد في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ في $21 x^{\frac{1}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ في $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.3

اجمع $7$ و $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.4

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1.1

أخرِج العامل $7$ من $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 9.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 9.3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9.3.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 9.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

خطوة 9.4.2

اقسِم كل حد في $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

اقسِم كل حد في $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ على $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

خطوة 9.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

خطوة 9.4.2.2.2

اقسِم $x^{\frac{1}{3}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

خطوة 9.4.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $3$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

خطوة 9.4.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

خطوة 9.4.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

خطوة 9.4.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

خطوة 9.4.4.1.1.2

بسّط.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

خطوة 9.4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.2.1

بسّط ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

خطوة 9.4.4.2.1.2

ارفع $14$ إلى القوة $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

خطوة 9.4.4.2.1.3

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = \frac{2744}{729}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 8$ .

يوجد خط مماس عند $x = \frac{2744}{729}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 8$

خطوة 11