حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[- 2, 2]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} + 6 = 0$

خطوة 2.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 6$

خطوة 2.1.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

خطوة 2.1.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (6)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

خطوة 2.1.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

خطوة 2.1.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{6}$

خطوة 2.1.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{6}$

خطوة 2.1.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

خطوة 2.1.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[- 2, 2]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.1.6.3.2.2

أضف $12 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(- 2, 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $(- 2, 2)$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

عيّن قيمة $x^{2} + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 6$

خطوة 4.1.2.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

خطوة 4.1.2.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.3.1

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

خطوة 4.1.2.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (6)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

خطوة 4.1.2.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

خطوة 4.1.2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{6}$

خطوة 4.1.2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{6}$

خطوة 4.1.2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

خطوة 4.1.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(- 2, 2)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(- 2, 2)$ لأن المشتق متصل على $(- 2, 2)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[- 2, 2]$ وقابلة للاشتقاق على $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ متصلة على $[- 2, 2]$ وقابلة للاشتقاق على $(- 2, 2)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[- 2, 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $4$ و $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $- 1$ في $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

خطوة 8.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

خطوة 8.1.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

خطوة 8.1.4

اقسِم $0$ على $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

خطوة 8.1.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

خطوة 8.1.6

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

خطوة 8.1.7

اقسِم $0$ على $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

خطوة 8.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

خطوة 8.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

خطوة 8.3

اضرب كل حد في $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ في ${(x^{2} + 6)}^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب كل حد في $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ في ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

خطوة 8.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

خطوة 8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $0$ في ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

خطوة 8.4

اقسِم كل حد في $12 x = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اقسِم كل حد في $12 x = 0$ على $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 8.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

خطوة 8.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

$x = 0$

خطوة 9

يوجد خط مماس عند $x = 0$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = - 2$ و $b = 2$ .

يوجد خط مماس عند $x = 0$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = - 2$ و $b = 2$

خطوة 10