حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

خطوة 1

أوجِد مشتق $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f' (x)$ متصلة على $[0, 7]$ .

$f' (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f'$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $7$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $2 x$ في $7$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.5

أضف $\frac{49}{2}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.6

اجمع $2$ و $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.7

اضرب $2$ في $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $98$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.8.2.4

اقسِم $49$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.9

اضرب $2$ في $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

خطوة 11.3.10

اضرب $- 2$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

خطوة 11.3.11

أضف $14$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

خطوة 11.3.12

أضف $49$ و $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

خطوة 12.2

أضف $7$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $7$ من $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 9$

خطوة 14