حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

خطوة 1

أوجِد مشتق $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{3} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$27 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $27 x^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f' (x)$ متصلة على $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f'$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $27$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

خطوة 8.2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

خطوة 8.2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

خطوة 8.2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

خطوة 8.2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

خطوة 8.2.2.4.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

خطوة 8.2.2.5

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

خطوة 8.2.2.6

أضف $9$ و $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

خطوة 8.2.2.7

اضرب $27$ في $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

خطوة 9

أضف $3$ و $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $6$ من $486$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 81$

خطوة 11