حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 1]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

خطوة 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $لا يوجد حل$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $لا يوجد حل$ لأن المشتق متصل على $لا يوجد حل$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[1, 1]$ وقابلة للاشتقاق على $لا يوجد حل$ .

لا يوجد حل

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[1, 1]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

خطوة 7.2.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f (1) = 1$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 8

المعادلة بها كسر غير معرّف.

غير معرّف

خطوة 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

خطوة 10