حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.2

اضرب $3$ في $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2

اطرح $2 x^{4}$ من $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} + 15 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $15 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.3

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.6.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.8

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.8.2

أخرِج العامل $x^{2} + 5$ من ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 5$ من ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.8.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 5$ من $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.8.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 5$ من $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

خطوة 1.2.9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

أخرِج العامل $x^{2} + 5$ من ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.13.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.13.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.16

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.1.2

اضرب $2$ في $15$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.2

أضف $2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.3

وسّع $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.5

اضرب $4$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.1.6

اضرب $30$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.4.2

أضف $30 x^{3}$ و $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.5

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.1.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.5.3

أضف $2$ و $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.1.6

اضرب $15$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.4.2.1

اطرح $4 x^{5}$ من $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.2.2

أضف $50 x^{3} + 150 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4.3

اطرح $60 x^{3}$ من $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.5

أخرِج العامل $10 x$ من $- 10 x^{3} + 150 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.5.1

أخرِج العامل $10 x$ من $- 10 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.5.2

أخرِج العامل $10 x$ من $150 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.5.3

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.7

أعِد كتابة $15$ بالصيغة $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.9

أعِد كتابة $- (x^{2} - 15)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 15$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 15$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 15 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 15 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 15$

خطوة 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{15}$

خطوة 2.3.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $10 x (x^{2} - 15) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $5$ .

$f (0) = \frac{0}{5}$

خطوة 3.1.2.3

اقسِم $0$ على $5$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\sqrt{15}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{15}$ في العبارة.

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة $3375$ بالصيغة $15^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

أخرِج العامل $225$ من $3375$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

خطوة 3.3.2.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

خطوة 3.3.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

خطوة 3.3.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

خطوة 3.3.2.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

خطوة 3.3.2.2.2

أضف $15$ و $5$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

خطوة 3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

أخرِج العامل $5$ من $15 \sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

خطوة 3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

خطوة 3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

خطوة 3.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{15}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ هي $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{15}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{15}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.4

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.5

أعِد كتابة $3375$ بالصيغة $15^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.5.1

أخرِج العامل $225$ من $3375$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.5.2

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.1.7

اضرب $- 1$ في $15$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.3

اضرب ${\sqrt{15}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

خطوة 3.5.2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

خطوة 3.5.2.2.5

أضف $15$ و $5$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

خطوة 3.5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

خطوة 3.5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{15}$ في $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ هي $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{15})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.97298334$ في العبارة.

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $10$ في $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 39.72983346$ في ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 3.97298334$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $15.78459666$ و $5$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $20.78459666$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $- 31.171895$ على $8978.93451047$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 0.00347166$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00347166$ .

$0.00347166$

خطوة 5.3

في $- 3.97298334$ ، المشتق الثاني هو $0.00347166$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{15})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{15})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{15}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.93649167$ في العبارة.

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $10$ في $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 19.36491673$ في ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1.93649167$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $3.75$ و $5$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $8.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $217.85531322$ على $669.921875$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.3251951$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.3251951$ .

$- 0.3251951$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.93649167$ يساوي $- 0.3251951$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{15}, 0)$

تناقص خلال $(- \sqrt{15}, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{15})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.93649167$ في العبارة.

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $10$ في $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $19.36491673$ في ${1.93649167}^{2} - 15$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $1.93649167$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $3.75$ و $5$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $8.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $- 217.85531322$ على $669.921875$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 0.3251951$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.3251951$ .

$0.3251951$

خطوة 7.3

في $1.93649167$ ، المشتق الثاني هو $0.3251951$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \sqrt{15})$ .

تزايد خلال $(0, \sqrt{15})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{15}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.97298334$ في العبارة.

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $10$ في $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $39.72983346$ في ${3.97298334}^{2} - 15$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $3.97298334$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $15.78459666$ و $5$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $20.78459666$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اقسِم $31.171895$ على $8978.93451047$ .

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.00347166$ .

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00347166$ .

$- 0.00347166$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $3.97298334$ يساوي $- 0.00347166$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt{15}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt{15}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

خطوة 10