حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 7) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{14 x + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2.2

أضف $14 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}})$

خطوة 1.2.2

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}})$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}})$

خطوة 1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 7)}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

خطوة 1.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 7$ من ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

خطوة 1.2.16

اجمع $14$ و $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.2.1

اضرب $- 3$ في $14$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.2.2

اضرب $14$ في $7$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3

أخرِج العامل $14$ من $- 42 x^{2} + 98$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.3.1

أخرِج العامل $14$ من $- 42 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3.2

أخرِج العامل $14$ من $98$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3.3

أخرِج العامل $14$ من $14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.5

أعِد كتابة $7$ بالصيغة $- 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 7)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$14 (3 x^{2} - 7) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ على $14$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ على $14$ .

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 7$ على $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{14}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $14$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 7$

خطوة 2.3.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 7$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 7$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

خطوة 2.3.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

خطوة 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

خطوة 2.3.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{7}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 2.3.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 2.3.5.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.3.5.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.3.5.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 2.3.5.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

خطوة 2.3.5.4.2

اضرب $7$ في $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

خطوة 2.3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{\sqrt{21}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{21}}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 (7)}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

خطوة 3.1.2.2.5

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.6

اجمع $7$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.8.1

اضرب $7$ في $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.8.2

أضف $7$ و $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

خطوة 3.1.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

خطوة 3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

أخرِج العامل $7$ من $28$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

خطوة 3.1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

خطوة 3.1.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.1.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{\sqrt{21}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ هي $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (7)}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{7}{3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.1.7

اضرب $\frac{7}{3}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

خطوة 3.3.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

خطوة 3.3.2.2.3

اضرب $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

خطوة 3.3.2.2.7

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.8

اجمع $7$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.10.1

اضرب $7$ في $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.10.2

أضف $7$ و $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

خطوة 3.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

أخرِج العامل $7$ من $28$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

خطوة 3.3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ هي $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.62752523$ في العبارة.

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.62752523$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.3

اطرح $7$ من $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 1.62752523$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $2.64883837$ و $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $9.64883837$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $14$ في $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $13.25121194$ على $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.0147513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 0.0147513$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.62752523$ يساوي $- 0.0147513$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{14 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{14 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اطرح $7$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $7$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{7^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{343}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $14$ في $- 7$ .

$f'' (0) = - \frac{- 98}{343}$

خطوة 6.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 98$ و $343$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $49$ من $- 98$ .

$f'' (0) = - \frac{49 (- 2)}{343}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $49$ من $343$ .

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

خطوة 6.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = - \frac{- 2}{7}$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = \frac{2}{7}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7}$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $0.\overline{285714}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

تزايد خلال $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.62752523$ في العبارة.

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.62752523$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $3$ في $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.3

اطرح $7$ من $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $1.62752523$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $2.64883837$ و $7$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $9.64883837$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $14$ في $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $13.25121194$ على $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

خطوة 7.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.0147513$ .

$f'' (1.62752523) = - 0.0147513$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.62752523$ يساوي $- 0.0147513$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 9