حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = x^{2} - 6 x - 18$ .

$f' (x) = (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 18) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 6 x - 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f' (x) = (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.7

أضف $2 x - 6$ و $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \frac{d}{d x} (x - 3)$

خطوة 1.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

خطوة 1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) (1 + 0)$

خطوة 1.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x - 18) \cdot 1$

خطوة 1.1.2.11.2

اضرب $x^{2} - 6 x - 18$ في $1$ .

$f' (x) = (x - 3) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.6

انقُل $- 6$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 \cdot x - 3 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.7

اضرب $- 3$ في $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.8

اطرح $6 x$ من $- 6 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.9

أضف $2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 18 - 6 x - 18$

خطوة 1.1.3.4.10

اطرح $6 x$ من $- 12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 18 - 18$

خطوة 1.1.3.4.11

اطرح $18$ من $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 0$

خطوة 1.1.3.4.12

أضف $3 x^{2} - 18 x$ و $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 18 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 18$ في $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 18$ .

$6 x - 18$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x - 18 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 18 = 0$

خطوة 2.2

أضف $18$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 18$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 x = 18$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 18$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $18$ على $6$ .

$x = 3$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = ((3) - 3) ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اطرح $3$ من $3$ .

$f (3) = 0 ({(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 18)$

خطوة 3.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 0 (9 - 6 \cdot 3 - 18)$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f (3) = 0 (9 - 18 - 18)$

خطوة 3.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اطرح $18$ من $9$ .

$f (3) = 0 (- 9 - 18)$

خطوة 3.1.2.3.2

اطرح $18$ من $- 9$ .

$f (3) = 0 \cdot - 27$

خطوة 3.1.2.3.3

اضرب $0$ في $- 27$ .

$f (3) = 0$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 6 x - 18)$ هي $(3, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, 0)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.9$ في العبارة.

$f'' (2.9) = 6 (2.9) - 18$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $6$ في $2.9$ .

$f'' (2.9) = 17.4 - 18$

خطوة 5.2.2

اطرح $18$ من $17.4$ .

$f'' (2.9) = - 0.6$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.6$ .

$- 0.6$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $2.9$ يساوي $- 0.6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 3)$

تناقص خلال $(- \infty, 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = 6 (3.1) - 18$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $6$ في $3.1$ .

$f'' (3.1) = 18.6 - 18$

خطوة 6.2.2

اطرح $18$ من $18.6$ .

$f'' (3.1) = 0.6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.6$ .

$0.6$

خطوة 6.3

في $3.1$ ، المشتق الثاني هو $0.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(3, 0)$ .

$(3, 0)$

خطوة 8