حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(x - 5)}^{2}$ بالصيغة $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(x - 5) (x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $5 x$ من $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ و $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5.4.2

اضرب $x^{2} - 10 x + 25$ في $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

خطوة 1.1.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 10 x + 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.5.7

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.5.9

اضرب $- 10$ في $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

خطوة 1.1.5.10

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

خطوة 1.1.5.11

أضف $2 x - 10$ و $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.6

انقُل $- 10$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

خطوة 1.1.6.4.7

اضرب $- 2$ في $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

خطوة 1.1.6.4.8

اطرح $10 x$ من $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

خطوة 1.1.6.4.9

أضف $x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

خطوة 1.1.6.4.10

اطرح $14 x$ من $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

خطوة 1.1.6.4.11

أضف $25$ و $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 24 x + 45$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $45$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $45$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x - 24 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $6 x - 24$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 24 = 0$

خطوة 2.2

أضف $24$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 24$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 x = 24$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 24$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $24$ على $6$ .

$x = 4$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اطرح $5$ من $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

خطوة 3.1.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $(4) - 2$ في $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

خطوة 3.1.2.4

اطرح $2$ من $4$ .

$f (4) = 2$

خطوة 3.1.2.5

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ هي $(4, 2)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, 2)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.9$ في العبارة.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $6$ في $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

خطوة 5.2.2

اطرح $24$ من $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.6$ .

$- 0.6$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $3.9$ يساوي $- 0.6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 4)$

تناقص خلال $(- \infty, 4)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.1$ في العبارة.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $6$ في $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

خطوة 6.2.2

اطرح $24$ من $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.6$ .

$0.6$

خطوة 6.3

في $4.1$ ، المشتق الثاني هو $0.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

خطوة 8