حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.2.7

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.4.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.6.1

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{1 + 2} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.10.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11

وسّع $(8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} (x^{3} + x) - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{1 + 2} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.2

اطرح $8 x^{3}$ من $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 0 - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.1.12.3

أضف $8 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.2

أضف $- 4 x^{5}$ و $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.3.3

اطرح $8 x$ من $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $- 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.4

حلّل $u^{2} - 2 u - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 1.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ و ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 1.2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x^{2} - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{2 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 1}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

خطوة 3.1.2.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{3}$ في العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (\sqrt{3})}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 3.3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 3.3.2.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 3.3.2.1.2

أضف $3$ و $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

خطوة 3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ هي $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.3

اضرب ${\sqrt{3}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 3.5.2.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

خطوة 3.5.2.2.5

أضف $3$ و $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{4}$

خطوة 3.5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{4}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (2)}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ هي $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.8320508$ في العبارة.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $4$ في $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 7.32820323 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 7.32820323$ في ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $3.35641016$ و $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{4.35641016}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $4.35641016$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{82.67730033}$

خطوة 5.2.3

اقسِم $- 2.61184609$ على $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 0.03159084$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.03159084$ .

$- 0.03159084$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.8320508$ يساوي $- 0.03159084$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{3}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.8660254$ في العبارة.

$f'' (- 0.8660254) = \frac{4 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $4$ في $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 3.46410161 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3.46410161$ في ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 0.8660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{1.75}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{5.359375}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $7.79422863$ على $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = 1.45431671$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $1.45431671$ .

$1.45431671$

خطوة 6.3

في $- 0.8660254$ ، المشتق الثاني هو $1.45431671$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \sqrt{3}, 0)$ .

تزايد خلال $(- \sqrt{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.8660254$ في العبارة.

$f'' (0.8660254) = \frac{4 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $4$ في $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{3.46410161 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $3.46410161$ في ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $0.8660254$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0.75$ و $1$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{1.75}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $1.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{5.359375}$

خطوة 7.2.3

اقسِم $- 7.79422863$ على $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = - 1.45431671$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 1.45431671$ .

$- 1.45431671$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.8660254$ يساوي $- 1.45431671$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \sqrt{3})$

تناقص خلال $(0, \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.8320508$ في العبارة.

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $4$ في $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{7.32820323 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $7.32820323$ في ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $1.8320508$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $3.35641016$ و $1$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{4.35641016}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $4.35641016$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{82.67730033}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $2.61184609$ على $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03159084$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $0.03159084$ .

$0.03159084$

خطوة 8.3

في $1.8320508$ ، المشتق الثاني هو $0.03159084$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 10