حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{x}$

خطوة 1

اكتب $x e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 2.2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

خطوة 2.2.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = x e^{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = x e^{x}$ هي $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع $- 2.1$ و $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.4

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.6

اقسِم $2.1$ على $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

خطوة 6.2.1.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

خطوة 6.2.1.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

خطوة 6.2.2

أضف $- 0.25715849$ و $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 2.1$ يساوي $- 0.01224564$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 2)$

تناقص خلال $(- \infty, - 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.9$ في العبارة.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.2

اجمع $- 1.9$ و $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.4

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.6

اقسِم $1.9$ على $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

خطوة 7.2.1.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

خطوة 7.2.1.9

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

خطوة 7.2.2

أضف $- 0.28418037$ و $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.01495686$ .

$0.01495686$

خطوة 7.3

في $- 1.9$ ، المشتق الثاني هو $0.01495686$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 2, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

خطوة 9