حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.2.6

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ و $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $h (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

خطوة 2.2

بسّط $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب $2$ في $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.3

اضرب $4$ في $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.5

اضرب $8$ في $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.6

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.7

اضرب $16$ في $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.8

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.9

اضرب $32$ في $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.1

اضرب $12$ في $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4.2

اضرب $60$ في $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4.3

اضرب $160$ في $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4.4

اضرب $240$ في $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4.5

اضرب $192$ في $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

خطوة 2.2.1.4.6

اضرب $7$ في $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

خطوة 2.2.2

اطرح $7$ من $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

خطوة 2.3

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = - 3, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أضف $- 4$ و $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $7$ في $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

خطوة 5.2.2

اطرح $7$ من $448$ .

$h' (- 4) = 441$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $441$ .

$441$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 4$ هو $441$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 3)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 3)$ نظرًا إلى أن $h' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

خطوة 6.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $7$ في $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

خطوة 6.2.2

اطرح $7$ من $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 7$ .

$- 7$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- 7$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 3, - 1)$ .

تناقص خلال $(- 3, - 1)$ حيث إن $h' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $0$ و $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $7$ في $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

خطوة 7.2.2

اطرح $7$ من $448$ .

$h' (0) = 441$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $441$ .

$441$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0$ هو $441$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $h' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

تناقص خلال: $(- 3, - 1)$

خطوة 9