حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

خطوة 2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, 1$

خطوة 2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 2.4

اضرب كل حد في $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 2.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - x^{2}$

خطوة 2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

خطوة 2.5.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.5.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $1, - 1$ .

$1, - 1$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

خطوة 6.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

خطوة 6.2.4

أضف $- 1$ و $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2$ هو $\frac{3}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

خطوة 7.2.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

خطوة 7.2.1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

خطوة 7.2.1.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

خطوة 7.2.1.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

خطوة 7.2.1.1.6

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

خطوة 7.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- (1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

خطوة 7.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

خطوة 7.2.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - \frac{1}{2}$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 0)$ .

تناقص خلال $(- 1, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

خطوة 8.2.1.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

خطوة 8.2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

خطوة 8.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- (1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

خطوة 8.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

خطوة 8.2.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 1)$ .

تناقص خلال $(0, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

خطوة 9.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 9.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

خطوة 9.2.2.3

أضف $- 1$ و $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 2$ هو $\frac{3}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- 1, 0), (0, 1)$

خطوة 11