حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 + x$ و $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $3 - x$ في $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10.2

اضرب $2 + x$ في $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.12

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.12.1

اضرب $2 + x$ في $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.12.2

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.12.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.12.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.12.4.1

أضف $0$ و $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.12.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $5 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

خطوة 5.2.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

خطوة 5.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم ${(x - 3)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

خطوة 5.2.2.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

خطوة 5.2.3

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 5.2.4

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 6

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ هو $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$f' (2) = 5$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 3)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

أضف $- 4$ و $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$f' (4) = 5$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 4$ هو $5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

خطوة 10