حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1

اكتب $y = {(x - 4)}^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

خطوة 2.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

خطوة 2.1.2.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ على $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم ${(x - 4)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 3.4

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $4$ .

$4$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ هو $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $4$ من $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

خطوة 6.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (3) = 3$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 3$ هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 4)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 4)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $4$ من $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

خطوة 7.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

خطوة 7.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (5) = 3$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 5$ هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

خطوة 9