حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

خطوة 1

اكتب $y = 2 - 2 x - x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 2 x - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - 2 - (3 x^{2})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$0 - 2 - 3 x^{2}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2 - 3 x^{2}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 3 x^{2} - 2$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

خطوة 3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} = 2$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = 2$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = 2$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

خطوة 3.5

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.5.4

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 3.5.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.5.5.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 3.5.5.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 3.5.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.5.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 3.5.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

خطوة 3.5.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

خطوة 3.5.7

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 6

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 - 2$

خطوة 6.2.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f' (1) = - 5$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$- 5$

خطوة 7

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ هي $- 5$ ، وهي سالبة، لذا فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \infty)$

خطوة 8

يعني التناقص على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتناقص دائمًا.

متناقص دائمًا

خطوة 9