حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 36 x + 2$

خطوة 1

اكتب $y = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 36 x + 2$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 x^{3} - 33 x^{2} - 36 x + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 33 x^{2} - 36 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 33 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 33 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 33$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 33 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 33 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 x^{2} - 33 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 33$ .

$12 x^{2} - 66 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $12 x^{2} - 66 x - 36$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 66 x - 36$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 66 x - 36$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} - 66 x - 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 66 x - 36 = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2} - 66 x - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 66 x - 36 = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 66 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) - 36 = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 36$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x) + 6 (- 6) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2}) + 6 (- 11 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 6) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2} - 11 x) + 6 (- 6)$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ ومجموعهما $b = - 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 11$ من $- 11 x$ .

$6 (2 x^{2} - 11 x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 11$ في صورة $1$ زائد $- 12$

$6 (2 x^{2} + (1 - 12) x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (2 x^{2} + 1 x - 12 x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$6 (2 x^{2} + x - 12 x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$6 ((2 x^{2} + x) - 12 x - 6) = 0$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$6 (x (2 x + 1) - 6 (2 x + 1)) = 0$

خطوة 3.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$6 ((2 x + 1) (x - 6)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (2 x + 1) (x - 6) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (2 x + 1) (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, 6$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{1}{2}, 6$ .

$- \frac{1}{2}, 6$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.5$ في العبارة.

$f' (- 1.5) = 12 {(- 1.5)}^{2} - 66 \cdot - 1.5 - 36$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1.5) = 12 \cdot 2.25 - 66 \cdot - 1.5 - 36$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 27 - 66 \cdot - 1.5 - 36$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 66$ في $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 27 + 99 - 36$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $27$ و $99$ .

$f' (- 1.5) = 126 - 36$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $36$ من $126$ .

$f' (- 1.5) = 90$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $90$ .

$90$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1.5$ هو $90$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.5, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.75$ في العبارة.

$f' (2.75) = 12 {(2.75)}^{2} - 66 \cdot 2.75 - 36$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.75$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.75) = 12 \cdot 7.5625 - 66 \cdot 2.75 - 36$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $7.5625$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 66 \cdot 2.75 - 36$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 66$ في $2.75$ .

$f' (2.75) = 90.75 - 181.5 - 36$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $181.5$ من $90.75$ .

$f' (2.75) = - 90.75 - 36$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $36$ من $- 90.75$ .

$f' (2.75) = - 126.75$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 126.75$ .

$- 126.75$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2.75$ هو $- 126.75$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 0.5, 6)$ .

تناقص خلال $(- \frac{1}{2}, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 66 \cdot 7 - 36$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 66 \cdot 7 - 36$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $12$ في $49$ .

$f' (7) = 588 - 66 \cdot 7 - 36$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 66$ في $7$ .

$f' (7) = 588 - 462 - 36$

خطوة 8.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $462$ من $588$ .

$f' (7) = 126 - 36$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $36$ من $126$ .

$f' (7) = 90$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $90$ .

$90$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 7$ هو $90$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (6, \infty)$

تناقص خلال: $(- \frac{1}{2}, 6)$

خطوة 10