حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $e^{- x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 2.1.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 2.2.10

اضرب $e^{- x^{2}}$ في $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

خطوة 2.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2.11.2

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2.11.4

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 e^{- x^{2}}$ من $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 e^{- x^{2}}$ من $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2 e^{- x^{2}}$ من $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2 e^{- x^{2}}$ من $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{- x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x^{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $2 x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{2} = 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.4.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.4.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.4.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.5.2.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.2.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.5.2.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $f (x) = e^{- x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

خطوة 4.1.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

خطوة 4.1.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 4.1.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 4.1.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 4.1.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.1.2.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $f (x) = e^{- x^{2}}$ هي $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في $f (x) = e^{- x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

خطوة 4.3.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

خطوة 4.3.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 4.3.2.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 4.3.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

خطوة 4.3.2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

خطوة 4.3.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 4.3.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 4.3.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 4.3.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.2.7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.3.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في $f (x) = e^{- x^{2}}$ هي $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.80710678$ في العبارة.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $2.60568542$ و $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.9

اقسِم $2.60568542$ على $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10

ارفع $- 0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

خطوة 6.2.1.11

اضرب $- 1$ في $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

خطوة 6.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

خطوة 6.2.1.13

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

خطوة 6.2.1.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

خطوة 6.2.2

اطرح $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ من $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.31574641$ .

$0.31574641$

خطوة 6.3

في $- 0.80710678$ ، المشتق الثاني هو $0.31574641$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $0$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

خطوة 7.2.1.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

خطوة 7.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f'' (0) = - 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

تناقص خلال $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.80710678$ في العبارة.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6

اجمع $2.60568542$ و $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9

اقسِم $2.60568542$ على $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10

ارفع $0.80710678$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

خطوة 8.2.1.11

اضرب $- 1$ في $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

خطوة 8.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

خطوة 8.2.1.13

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

خطوة 8.2.1.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

خطوة 8.2.2

اطرح $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ من $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.31574641$ .

$0.31574641$

خطوة 8.3

في $0.80710678$ ، المشتق الثاني هو $0.31574641$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 10