حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $- 36$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} + 6 x - 36$ .

$12 x^{2} + 6 x - 36$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2} + 6 x - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $- 36$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2}) + 6 x$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (2 x^{2} + x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

اضرب في $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 3$ زائد $4$

$6 (2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$6 ((2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$6 (x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x - 3$ .

$6 ((2 x - 3) (x + 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 3 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 3$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3}{2}, - 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{3}{2}$ في $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3^{3}}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.6

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 7$

خطوة 3.1.2.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{9}{2^{2}} + 7$

خطوة 3.1.2.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 (\frac{9}{4}) + 7$

خطوة 3.1.2.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.10.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 (- 9) (\frac{9}{4}) + 7$

خطوة 3.1.2.1.10.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

خطوة 3.1.2.1.10.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

خطوة 3.1.2.1.10.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 9 (\frac{9}{2}) + 7$

خطوة 3.1.2.1.11

اجمع $- 9$ و $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.12

اضرب $- 9$ في $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 81}{2} + 7$

خطوة 3.1.2.1.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - \frac{81}{2} + 7$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اضرب $\frac{27}{8}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2} + 7$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $\frac{27}{8}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81}{2} + 7$

خطوة 3.1.2.2.3

اضرب $\frac{81}{2}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{8}{8}) + 7$

خطوة 3.1.2.2.4

اضرب $\frac{81}{2}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + 7$

خطوة 3.1.2.2.5

اكتب $7$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1}$

خطوة 3.1.2.2.6

اضرب $\frac{7}{1}$ في $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1} \cdot \frac{16}{16}$

خطوة 3.1.2.2.7

اضرب $\frac{7}{1}$ في $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.2.8

أعِد ترتيب عوامل $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.2.9

اضرب $2$ في $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.2.10

اضرب $2$ في $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{16} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 27 \cdot 2 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

اضرب $27$ في $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.4.2

اضرب $- 81$ في $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 7 \cdot 16}{16}$

خطوة 3.1.2.4.3

اضرب $7$ في $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 112}{16}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

أضف $81$ و $54$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 648 + 112}{16}$

خطوة 3.1.2.5.2

اطرح $648$ من $135$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 513 + 112}{16}$

خطوة 3.1.2.5.3

أضف $- 513$ و $112$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 401}{16}$

خطوة 3.1.2.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{401}{16}$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{401}{16}$ .

$- \frac{401}{16}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{3}{2}$ في $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ هي $(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f (- 2) = 16 + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 \cdot 4 + 7$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 18$ في $4$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 72 + 7$

خطوة 3.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اطرح $8$ من $16$ .

$f (- 2) = 8 - 72 + 7$

خطوة 3.3.2.2.2

اطرح $72$ من $8$ .

$f (- 2) = - 64 + 7$

خطوة 3.3.2.2.3

أضف $- 64$ و $7$ .

$f (- 2) = - 57$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 57$ .

$- 57$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ هي $(- 2, - 57)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, - 57)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16}), (- 2, - 57)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} + 6 (- 2.1) - 36$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 + 6 (- 2.1) - 36$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $12$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 + 6 (- 2.1) - 36$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $6$ في $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 12.6 - 36$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $12.6$ من $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 40.32 - 36$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $36$ من $40.32$ .

$f'' (- 2.1) = 4.32$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $4.32$ .

$4.32$

خطوة 5.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $4.32$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, \frac{3}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.25$ في العبارة.

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 36$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.25$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 36$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $0.0625$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 36$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $6$ في $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 36$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $1.5$ من $0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 36$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $36$ من $- 0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 36.75$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 36.75$ .

$- 36.75$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.25$ يساوي $- 36.75$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, \frac{3}{2})$

تناقص خلال $(- 2, \frac{3}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.6$ في العبارة.

$f'' (1.6) = 12 {(1.6)}^{2} + 6 (1.6) - 36$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.6) = 12 \cdot 2.56 + 6 (1.6) - 36$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $2.56$ .

$f'' (1.6) = 30.72 + 6 (1.6) - 36$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $6$ في $1.6$ .

$f'' (1.6) = 30.72 + 9.6 - 36$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $30.72$ و $9.6$ .

$f'' (1.6) = 40.32 - 36$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $36$ من $40.32$ .

$f'' (1.6) = 4.32$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $4.32$ .

$4.32$

خطوة 7.3

في $1.6$ ، المشتق الثاني هو $4.32$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{3}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ .

$(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

خطوة 9