حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 240 x - 3$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 9 x^{2} - 240 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [- 240 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 240$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 240 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x - 240 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x - 240 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 240$ في $1$ .

$6 x^{2} - 18 x - 240 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} - 18 x - 240 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $6 x^{2} - 18 x - 240$ و $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 240$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 18 x - 240$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 18$ في $1$ .

$12 x - 18 + \frac{d}{d x} [- 240]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 240$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 240$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x - 18 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $12 x - 18$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x - 18 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x - 18 = 0$

خطوة 2.2

أضف $18$ إلى كلا المتعادلين.

$12 x = 18$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $12 x = 18$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $12 x = 18$ على $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{3}{2}$ في $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 240 x - 3$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.8

اضرب $- 9 (\frac{9}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.8.1

اجمع $- 9$ و $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.8.2

اضرب $- 9$ في $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} - 240 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.10.1

أخرِج العامل $2$ من $- 240$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (- 120) (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 3.1.2.1.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (- 120 (\frac{3}{2})) - 3$

خطوة 3.1.2.1.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} - 120 \cdot 3 - 3$

خطوة 3.1.2.1.11

اضرب $- 120$ في $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} - 360 - 3$

خطوة 3.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = - 360 - 3 + \frac{27 - 81}{4}$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $81$ من $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 360 - 3 + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اكتب $- 360$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360}{1} - 3 + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $\frac{- 360}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3.3

اضرب $\frac{- 360}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360 \cdot 4}{4} - 3 + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3.4

اكتب $- 3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3.5

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.3.6

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{- 54}{4}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 360 \cdot 4 - 3 \cdot 4 - 54}{4}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $- 360$ في $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 1440 - 3 \cdot 4 - 54}{4}$

خطوة 3.1.2.5.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 1440 - 12 - 54}{4}$

خطوة 3.1.2.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

اطرح $12$ من $- 1440$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 1452 - 54}{4}$

خطوة 3.1.2.6.2

اطرح $54$ من $- 1452$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 1506}{4}$

خطوة 3.1.2.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 1506$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 1506$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 (- 753)}{4}$

خطوة 3.1.2.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 753}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.1.2.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot - 753}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.1.2.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 753}{2}$

خطوة 3.1.2.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{753}{2}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{753}{2}$ .

$- \frac{753}{2}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{3}{2}$ في $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 240 x - 3$ هي $(\frac{3}{2}, - \frac{753}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{3}{2}, - \frac{753}{2})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.4$ في العبارة.

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $12$ في $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

خطوة 5.2.2

اطرح $18$ من $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.2$ .

$- 1.2$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $1.4$ يساوي $- 1.2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{3}{2})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{3}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.6$ في العبارة.

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $12$ في $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

خطوة 6.2.2

اطرح $18$ من $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1.2$ .

$1.2$

خطوة 6.3

في $1.6$ ، المشتق الثاني هو $1.2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{3}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{3}{2}, - \frac{753}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{753}{2})$

خطوة 8